Distribusi diskrit adalah salah satu konsep fundamental dalam statistika probabilitas yang digunakan untuk menggambarkan peluang terjadinya suatu kejadian ketika variabel acaknya bersifat diskrit, yaitu hanya memiliki nilai yang dapat dihitung (countable), seperti 0, 1, 2, 3, dan seterusnya. Distribusi ini sangat penting karena banyak fenomena dunia nyata yang terjadi dalam bentuk hitungan: jumlah pelanggan, jumlah kecacatan produk, jumlah keberhasilan eksperimen, dan lain sebagainya.

Dalam artikel ini kita akan membahas pengertian, karakteristik, jenis-jenis distribusi diskrit, rumus, serta contoh penerapannya.

---

1. Apa Itu Distribusi Diskrit?

Distribusi probabilitas diskrit adalah distribusi yang memetakan nilai-nilai suatu variabel acak diskrit dengan peluang terjadinya. Dalam kasus ini, setiap nilai memiliki peluang $P(X = x)$ dan jumlah seluruh peluang sama dengan 1.

Contoh variabel acak diskrit:

• Jumlah mobil masuk tol dalam 1 menit

• Jumlah mahasiswa yang lulus ujian

• Jumlah cacat pada 100 produk

• Banyaknya panggilan telepon ke call center

Distribusi diskrit biasanya dinyatakan dalam probability mass function (PMF).

---

2. Karakteristik Distribusi Diskrit

Distribusi diskrit memiliki ciri khas:

1. Domain nilai adalah bilangan bulat (0,1,2,...)

2. Total peluang:

   $$\sum P(X = x) = 1$$

3. Dapat dihitung menggunakan fungsi PMF.

4. Biasanya digunakan untuk model hitungan (counting).

---

3. Jenis-Jenis Distribusi Diskrit

Berikut empat distribusi diskrit paling penting dan sering digunakan:

---

3.1 Distribusi Binomial

Digunakan untuk model percobaan Bernoulli berulang dengan dua keluaran: sukses atau gagal.

Syarat Distribusi Binomial

• Percobaan diulang n kali.

• Setiap percobaan hasilnya sukses/gagal.

• Probabilitas sukses p konstan.

• Setiap percobaan independen.

Rumus PMF

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}$$

Contoh Kasus

Peluang 3 dari 5 mahasiswa lulus ujian dengan probabilitas lulus 0.7.

---

3.2 Distribusi Poisson

digunakan untuk menghitung banyaknya kejadian dalam interval waktu/ruang tertentu dengan rata-rata kejadian $\lambda$.

Rumus PMF

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$

Kapan Digunakan?

• Jumlah pelanggan datang per jam

• Jumlah error pada kode program

• Jumlah kecelakaan per hari

Contoh

Jika rata-rata 4 pelanggan datang per 10 menit, peluang tepat 2 pelanggan datang adalah:

$$P(X=2)=\frac{e^{-4}4^2}{2!}$$

---

3.3 Distribusi Geometrik

Model untuk menghitung jumlah percobaan hingga mendapat sukses pertama.

Rumus

$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$$

Kasus Umum

• Berapa kali lempar koin sampai kepala muncul?

• Berapa kali percobaan untuk menemukan produk cacat pertama?

---

3.4 Distribusi Hipergeometrik

Digunakan pada proses tanpa pengembalian (sampling without replacement).

PMF

$$P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

Kasus

Dari 20 produk, 5 rusak, diambil 4 secara acak tanpa pengembalian. Peluang 1 produk rusak dalam sampel dihitung dengan distribusi hipergeometrik.

---

4. Perbandingan Empat Distribusi Diskrit

---

5. Contoh Gabungan Penerapan

a. Binomial dalam Bisnis

Perusahaan ingin tahu probabilitas minimal 4 dari 6 pelanggan membeli produk jika peluang pembelian 60%.

b. Poisson untuk Antrian

Rata-rata 10 panggilan per jam masuk ke call center. Dengan Poisson, kita dapat memodelkan probabilitas jumlah panggilan di menit tertentu.

c. Geometrik dalam Quality Control

Mesin berjalan sampai mendeteksi cacat pertama; jumlah siklus sampai cacat dapat dimodelkan dengan Geometrik.

d. Hipergeometrik dalam Sampling

Ketika sampling dilakukan tanpa pengembalian, peluang item rusak dalam sampel dihitung dengan Hipergeometrik.

---

6. Kesimpulan

Distribusi diskrit merupakan pondasi penting dalam probabilitas dan statistika modern, terutama dalam pemodelan kejadian yang bersifat hitungan. Dengan memahami distribusi binomial, Poisson, geometrik, dan hipergeometrik, kita dapat menganalisis banyak fenomena nyata secara lebih akurat dan matematis.